Lógica
Lógica (del griego : λογική, logikḗ, ‘poseído de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo ‘) es el estudio sistemático de las formas de inferencia, es decir, las relaciones que conducen a la aceptación de uno proposición (la conclusión ) sobre la base de un conjunto de otras proposiciones ( premisas ).
En términos más generales, la lógica es el análisis y la valoración de los argumentos.
No existe un acuerdo universal en cuanto a la definición exacta y los límites de la lógica, por lo tanto, el tema sigue siendo uno de los principales temas de investigación y debate en el campo de la filosofía de la lógica (ver § Concepciones rivales ). Sin embargo, tradicionalmente ha incluido la clasificación de argumentos;
La exposición sistemática de las formas lógicas; la validez y solidez del razonamiento deductivo; la fuerza del razonamiento inductivo; el estudio de pruebas formales e inferencia (incluidas paradojas yfalacias ); y el estudio de sintaxis y semántica.
Un buen argumento no solo posee validez y solidez (o fuerza, en la inducción), sino que también evita dependencias circulares, está claramente establecido, es relevante y consistente; de lo contrario, es inútil para el razonamiento y la persuasión, y se clasifica como una falacia.
En el discurso ordinario, inferencias pueden ser significado por palabras tales como, por lo tanto, de este modo, por lo tanto, ergo, y así sucesivamente.
Históricamente, la lógica ha sido estudiada en filosofía (desde la antigüedad) y matemáticas (desde mediados del siglo XIX). Más recientemente, la lógica se ha estudiado en la ciencia cognitiva, que se basa en la informática, la lingüística, la filosofía y la psicología, entre otras disciplinas.
Contenido
Tipos de lógica
Sobre esta primera, y en cierto sentido esta única regla de la razón, que para aprender debes desear aprender, y al desear no estar satisfecho con lo que ya te inclinas a pensar, sigue un corolario que merece inscribirse en cada muro de la ciudad de la filosofía: no bloquee el camino de la investigación.
Charles Sanders Peirce, primera regla de la lógica
Lógica informal
La lógica informal es el estudio de los argumentos del lenguaje natural. El estudio de las falacias es una rama importante de la lógica informal. Dado que muchos argumentos informales no son estrictamente hablando deductivos, en algunas concepciones de la lógica, la lógica informal no es lógica en absoluto.
Ver § Concepciones rivales.)
Lógica formal
La lógica formal es el estudio de la inferencia con contenido puramente formal. Una inferencia posee un contenido puramente formal si puede expresarse como una aplicación particular de una regla totalmente abstracta, es decir, una regla que no se trata de ninguna cosa o propiedad en particular. En muchas definiciones de lógica, la consecuencia lógica y la inferencia con contenido puramente formal son las mismas.
Esto no hace que la noción de lógica informal sea vacía, porque ninguna lógica formal captura todos los matices del lenguaje natural.
Los ejemplos de lógica formal incluyen la lógica silogística tradicional (también conocida como lógica del término ); y lógica simbólica moderna :
La lógica silogística se puede encontrar en las obras de Aristóteles, por lo que es el estudio formal más antiguo conocido. La lógica formal moderna sigue y se expande en Aristóteles.
La lógica simbólica es el estudio de las abstracciones simbólicas que capturan las características formales de la inferencia lógica, a menudo divididas en dos ramas principales: lógica proposicional y lógica predicativa.
Lógica matemática
La lógica matemática es una extensión de la lógica simbólica en otras áreas, en particular para el estudio de la teoría del modelo, la teoría de la prueba, la teoría de conjuntos y la teoría de la computabilidad.
Conceptos
Los conceptos de forma lógica y argumento son centrales para la lógica.
Un argumento se construye aplicando una de las formas de los diferentes tipos de razonamiento lógico : deductivo, inductivo y abductivo. En deducción, la validez de un argumento está determinada únicamente por su forma lógica, no por su contenido, mientras que la solidez requiere tanto validez como que todas las premisas dadas son realmente verdaderas.
Completitud, consistencia, capacidad de decisión y expresividad, son conceptos fundamentales adicionales en la lógica. La categorización de los sistemas lógicos y de sus propiedades ha llevado a la aparición de una metateoría de la lógica conocida como metalogic. Sin embargo, el acuerdo sobre qué es realmente la lógica se ha mantenido elusivo, aunque el campo de la lógica universal ha estudiado la estructura común de las lógicas.
Forma lógica
La lógica generalmente se considera formal cuando analiza y representa la forma de cualquier tipo de argumento válido. La forma de un argumento se muestra representando sus oraciones en la gramática formal y el simbolismo de un lenguaje lógico para hacer que su contenido sea utilizable en inferencia formal.
En pocas palabras, formalizar simplemente significa traducir oraciones en inglés al lenguaje de la lógica.
Esto se llama mostrar la forma lógica del argumento. Es necesario porque las oraciones indicativas del lenguaje ordinario muestran una considerable variedad de formas y complejidades que hacen que su uso en inferencia sea poco práctico. Requiere, primero, ignorar esas características gramaticales irrelevantes para la lógica (como género y declinación, si el argumento está en latín), reemplazar las conjunciones irrelevantes para la lógica (por ejemplo, «pero») con conjunciones lógicas como «y» y reemplazar ambiguo, o expresiones lógicas alternativas («any», «every», etc.) con expresiones de un tipo estándar (por ejemplo, «all» o el cuantificador universal ∀).
Segundo, ciertas partes de la oración deben ser reemplazadas por letras esquemáticas. Así, por ejemplo, la expresión «todos los Ps son Qs» muestra la forma lógica común a las oraciones «todos los hombres son mortales», «todos los gatos son carnívoros», «todos los griegos son filósofos», etc. El esquema se puede condensar además en la fórmula A (P, Q), donde la letra A indica el juicio «todos – son -«.
La importancia de la forma fue reconocida desde la antigüedad. Aristóteles usa letras variables para representar inferencias válidas en análisis previo, lo que lleva a Jan Łukasiewicz a decir que la introducción de variables fue «uno de los mayores inventos de Aristóteles». Según los seguidores de Aristóteles (como Ammonius ), solo los principios lógicos establecidos en términos esquemáticos pertenecen a la lógica, no aquellos dados en términos concretos.
Los términos concretos ‘hombre’, ‘mortal’, etc., son análogos a los valores de sustitución de los marcadores de posición esquemáticos P, Q, R, que se denominaron ‘materia’ (en griego : ὕλη, hyle) de la inferencia.
Hay una gran diferencia entre los tipos de fórmulas que se ven en la lógica de términos tradicionales y el cálculo de predicados que es el avance fundamental de la lógica moderna. La fórmula A (P, Q) (todas las Ps son Q ) de la lógica tradicional corresponde a la fórmula más compleja{\ displaystyle \ forall x (P (x) \ rightarrow Q (x))}{\ displaystyle \ forall x (P (x) \ rightarrow Q (x))}en la lógica de predicados, involucrando los conectivos lógicos para la cuantificación e implicación universales en lugar de solo la letra de predicado A y usando argumentos variables{\ displaystyle P (x)}P (x)donde la lógica tradicional utiliza sólo la letra término P.
Con la complejidad viene el poder, y el advenimiento del cálculo predicado inauguró el crecimiento revolucionario del sujeto.
Semántica
La validez de un argumento depende del significado o la semántica de las oraciones que lo componen.
El seis Organon de Aristóteles, especialmente De Interpretatione, da un breve resumen de la semántica que los lógicos escolares, particularmente en los siglos XIII y XIV, desarrollaron en una teoría compleja y sofisticada, llamada teoría de la suposición. Esto mostró cómo la verdad de las oraciones simples, expresadas esquemáticamente, depende de cómo los términos ‘supposit’, o representan, ciertos ítems extra-lingüísticos.
Por ejemplo, en la parte II de su Summa Logicae, William of Ockhampresenta una descripción exhaustiva de las condiciones necesarias y suficientes para la verdad de las oraciones simples, con el fin de mostrar qué argumentos son válidos y cuáles no. Por lo tanto, «cada A es B ‘es verdadero si y solo si hay algo para lo que’ A ‘representa, y no hay nada para lo que’ A ‘representa, para lo que’ B ‘tampoco representa».
La lógica moderna temprana definió la semántica puramente como una relación entre ideas. Antoine Arnauld en Port Royal-Logic, dice que después de concebir las cosas por nuestras ideas, comparamos estas ideas y, al encontrar que algunas pertenecen y otras no, las unimos o separamos. Esto se llama afirmar o negar, y en general juzgar.
Así, la verdad y la falsedad no son más que el acuerdo o desacuerdo de ideas. Esto sugiere dificultades obvias, lo que lleva a Lockepara distinguir entre la verdad «real», cuando nuestras ideas tienen «existencia real» y la verdad «imaginaria» o «verbal«, donde las ideas como arpías o centauros existen solo en la mente.
Este punto de vista, conocido como psicologismo, fue llevado al extremo en el siglo XIX y, en general, los lógicos modernos lo consideran un punto bajo en el declive de la lógica antes del siglo XX.
La semántica moderna está de alguna manera más cerca de la visión medieval, al rechazar tales condiciones psicológicas de verdad. Sin embargo, la introducción de la cuantificación, necesaria para resolver el problema de la generalidad múltiple, hizo imposible el tipo de análisis sujeto-predicado que subyace a la semántica medieval.
El principal enfoque moderno es la semántica de teoría de modelos, basado en Alfred Tarski ‘s teoría semántica de la verdad. El enfoque supone que el significado de las diversas partes de las proposiciones viene dado por las posibles formas en que podemos dar un grupo de funciones de interpretación recursivamente especificado a algún dominio predefinido del discurso :
Una interpretación deLa lógica de predicados de primer orden viene dada por un mapeo de términos a un universo de individuos, y un mapeo de proposiciones a los valores de verdad «verdadero» y «falso». La semántica de la teoría de modelos es uno de los conceptos fundamentales de la teoría de modelos.
La semántica moderna también admite enfoques rivales, como la semántica de la teoría de la prueba que asocia el significado de las proposiciones con los roles que pueden desempeñar en las inferencias, un enfoque que en última instancia deriva del trabajo de Gerhard Gentzen sobre la teoría de la prueba estructural y está fuertemente influenciado por La filosofía posterior de Ludwig Wittgenstein, especialmente su aforismo «el significado es el uso».
Inferencia
La inferencia no debe confundirse con la implicación. Una implicación es una oración de la forma ‘Si p entonces q’, y puede ser verdadera o falsa. El lógico estoico Philo de Megara fue el primero en definir las condiciones de verdad de tal implicación : falso solo cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso, en todos los demás casos cierto.
Una inferencia, por otro lado, consiste en dos proposiciones afirmadas por separado de la forma ‘p por lo tanto q’. Una inferencia no es verdadera o falsa, sino válida o inválida. Sin embargo, existe una conexión entre implicación e inferencia, como sigue: si la implicación ‘si p entonces q’ es verdadera, la inferencia ‘p por lo tanto q’ esválida.
Philo le dio una formulación aparentemente paradójica, quien dijo que la implicación ‘si es de día, es de noche’ es cierta solo de noche, por lo que la inferencia ‘es de día, por lo tanto es de noche’ es válida en la noche, Pero no en el día.
La teoría de la inferencia (o ‘ consecuencias ‘) fue desarrollada sistemáticamente en la época medieval por lógicos como William de Ockham y Walter Burley. Es singularmente medieval, a pesar de que tiene su origen en Aristóteles Topica y Boecio ‘ De Syllogismis hypotheticis. Muchos términos en lógica, por esta razón, están en latín.
Por ejemplo, la regla que autoriza el movimiento de la implicación ‘si p, entonces q’ más la afirmación de su antecedente p, a la afirmación de la consecuente q, se conoce como modus ponens (‘modo de postulación’) – del latín : posito antecedente ponitur consecuente. Las formulaciones latinas de muchas otras reglas, como ex falso quodlibet (‘de la falsedad, cualquier cosa’), y reductio ad absurdum (‘reducción al absurdo’;
Es decir, refutar mostrando la consecuencia como absurda), también datan de esto período.
Sin embargo, la teoría de las consecuencias, o la denominada hipotética silogismo, no se integró plenamente en la teoría de la categórica silogismo. Esto se debió en parte a la resistencia a reducir el juicio categórico ‘cada s es p’ al llamado juicio hipotético ‘si algo es s, es p’. Se pensó que el primero implicaba ‘algunos s es p’, el último no, y ya en 1911 en el artículo de la Enciclopedia Británica sobre «Lógica», encontramos al lógico de Oxford TH Case argumentando en contra del análisis moderno de Sigwart y Brentano del universal proposición.
Sistemas lógicos
Un sistema formal es una organización de términos utilizados para el análisis de deducción. Un sistema lógico es esencialmente una forma de enumerar mecánicamente todas las verdades lógicas de alguna parte de la lógica mediante la aplicación de reglas recursivas, es decir, reglas que pueden aplicarse repetidamente a su propio resultado.
Esto se hace identificando por criterios puramente formales ciertos axiomas y ciertas reglas de inferencia puramente formales a partir de las cuales se pueden derivar teoremas de axiomas junto con teoremas anteriores. Consiste en un alfabeto, un lenguaje sobre el alfabeto para construir oraciones y una regla para derivar oraciones.
Entre las propiedades importantes que pueden tener los sistemas lógicos se encuentran:
Consistencia : ningún teorema del sistema contradice a otro.
Validez : las reglas de prueba del sistema nunca permiten una inferencia falsa de premisas verdaderas.
Integridad : si una fórmula es verdadera, se puede probar, es decir, es un teorema del sistema.
Solidez : si alguna fórmula es un teorema del sistema, es cierto. Este es el inverso de la integridad. (Tenga en cuenta que en un uso filosófico distinto del término, un argumento es sólido cuando es válido y sus premisas son verdaderas).
Expresividad : qué conceptos se pueden expresar en el sistema.
Algunos sistemas lógicos no tienen todas estas propiedades. Como ejemplo, los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel muestran que los sistemas formales de aritmética suficientemente complejos no pueden ser consistentes y completos; sin embargo, las lógicas predicadas de primer orden no extendidas por axiomas específicos para ser sistemas aritméticos formales con igualdad pueden ser completas y consistentes.
Lógica y racionalidad
Como el estudio de los argumentos es de clara importancia por las razones por las que sostenemos que las cosas son verdaderas, la lógica es de importancia esencial para la racionalidad. Aquí hemos definido la lógica como «el estudio sistemático de la forma de los argumentos»; El razonamiento detrás del argumento es de varios tipos, pero solo algunos de estos argumentos caen bajo los auspicios de la lógica propiamente dicha.
El razonamiento deductivo se refiere a la consecuencia lógica de premisas dadas y es la forma de razonamiento más estrechamente relacionada con la lógica. En una concepción estrecha de la lógica (ver más abajo), la lógica se refiere solo al razonamiento deductivo, aunque una concepción tan estrecha excluye controversialmente la mayor parte de lo que se llama lógica informal de la disciplina.
Hay otras formas de razonamiento que son racionales pero que generalmente no se consideran parte de la lógica. Estos incluyen el razonamiento inductivo, que cubre formas de inferencia que se mueven de colecciones de juicios particulares a juicios universales, y razonamiento abductivo, que es una forma de inferencia que va de la observación a una hipótesis que da cuenta de los datos confiables ( observación ) y busca explicar la evidencia relevante.
El filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce (1839–1914) introdujo por primera vez el término como adivinar. Peirce dijo que para abducir una explicación hipotética{\ displaystyle a}una de una circunstancia sorprendente observada {\ displaystyle b}si es suponer que {\ displaystyle a}una puede ser cierto porque entonces {\ displaystyle b}siSería una cuestión de rutina.
Por lo tanto, para abducir{\ displaystyle a}una de {\ displaystyle b}si implica determinar que {\ displaystyle a}unaes suficiente (o casi suficiente), pero no necesario, para{\ displaystyle b}si.
Si bien la inferencia inductiva y abductiva no forma parte de la lógica propiamente dicha, la metodología de la lógica se les ha aplicado con cierto grado de éxito. Por ejemplo, la noción de validez deductiva (donde una inferencia es deductivamente válida si y solo si no hay una situación posible en la que todas las premisas sean verdaderas pero la conclusión sea falsa) existe en una analogía con la noción de validez inductiva, o «fuerza «, donde una inferencia es inductivamente fuerte si y solo si sus premisas dan cierto grado de probabilidad a su conclusión.
Mientras que la noción de validez deductiva puede ser rigurosamente establecida para los sistemas de lógica formal en términos de las nociones bien entendidas de semántica, la validez inductiva requiere que definamos una generalización confiable de algún conjunto de observaciones. La tarea de proporcionar esta definición puede abordarse de varias maneras, algunas menos formales que otras;
Algunas de estas definiciones pueden usar la inducción de reglas de asociación lógica, mientras que otras pueden usar modelos matemáticos de probabilidad como los árboles de decisión.
Concepciones rivales
La lógica surgió (ver más abajo) de una preocupación con la corrección de la argumentación. Los lógicos modernos generalmente desean asegurarse de que la lógica estudie solo aquellos argumentos que surgen de formas de inferencia apropiadamente generales. Por ejemplo, Thomas Hofweber escribe en la Stanford Encyclopedia of Philosophy que la lógica «, sin embargo, no cubre el buen razonamiento en su conjunto.
Ese es el trabajo de la teoría de la racionalidad. Más bien se trata de inferencias cuya validez se remonta a la características formales de las representaciones que están involucradas en esa inferencia, ya sean representaciones lingüísticas, mentales u otras «.
La idea de que la lógica trata formas especiales de argumento, argumento deductivo, en lugar de argumento en general, tiene una historia en la lógica que se remonta al menos al logicismo en matemáticas (siglos XIX y XX) y al advenimiento de la influencia de la lógica matemática en la filosofía. Una consecuencia de tomar la lógica para tratar tipos especiales de argumentos es que conduce a la identificación de tipos especiales de verdad, las verdades lógicas (siendo la lógica el estudio equivalente de la verdad lógica), y excluye muchos de los objetos originales de estudio de la lógica que son tratados como lógica informal.
Robert Brandom ha argumentado en contra de la idea de que la lógica es el estudio de un tipo especial de verdad lógica, argumentando que en cambio se puede hablar de la lógica de la inferencia material.(en la terminología de Wilfred Sellars ), con la lógica que hace explícitos los compromisos que originalmente estaban implícitos en la inferencia informal.
Historia
La lógica proviene de la palabra griega logos, que originalmente significa «la palabra» o «lo que se dice», pero que viene a significar «pensamiento» o «razón». En el mundo occidental, la lógica fue desarrollada por primera vez por Aristóteles, quien llamó al tema «análisis». La lógica aristotélica se hizo ampliamente aceptada en la ciencia y las matemáticas y siguió siendo ampliamente utilizada en Occidente hasta principios del siglo XIX.
El sistema de lógica de Aristóteles fue responsable de la introducción del silogismo hipotético, la lógica modal temporal, y la lógica inductiva,así como vocabulario influyente, como términos, predicables, silogismos y proposiciones. También estaba la lógica estoica rival.
En Europa durante el período medieval posterior, se hicieron grandes esfuerzos para mostrar que las ideas de Aristóteles eran compatibles con la fe cristiana. Durante la Alta Edad Media, la lógica se convirtió en el foco principal de los filósofos, quienes se involucrarían en análisis lógicos críticos de argumentos filosóficos, a menudo utilizando variaciones de la metodología de la escolástica.
En 1323, la influyente Summa Logicae de William of Ockham fue liberada. En el siglo XVIII, el enfoque estructurado de los argumentos se había degenerado y caído en desgracia, como se muestra en la obra satírica de Holberg Erasmus Montanus. El filósofo lógico chinoGongsun Long ( c. 325–250 a. C. ) propuso la paradoja «Uno y uno no pueden convertirse en dos, ya que ninguno se convierte en dos».
En China, la tradición de la investigación académica sobre la lógica, sin embargo, fue reprimida por la dinastía Qin siguiendo la filosofía legalista de Han Feizi.
En la India, la escuela de lógica Anviksiki fue fundada por Medhātithi (c. Siglo VI AEC). Las innovaciones en la escuela escolar, llamada Nyaya, continuaron desde la antigüedad hasta principios del siglo XVIII con la escuela Navya-Nyāya. En el siglo XVI, desarrolló teorías que se asemejan a la lógica moderna, como la «distinción entre sentido y referencia de nombres propios» de Gottlob Frege y su «definición de número», así como la teoría de las «condiciones restrictivas para los universales» que anticipan algunos de los desarrollos en la teoría de conjuntos moderna.Desde 1824, la lógica india atrajo la atención de muchos estudiosos occidentales y ha influido en importantes lógicos del siglo XIX como Charles Babbage, Augustus De Morgan y George Boole.
En el siglo XX, filósofos occidentales como Stanislaw Schayer y Klaus Glashoff han explorado la lógica india más ampliamente.
La lógica silogística desarrollada por Aristóteles predominó en Occidente hasta mediados del siglo XIX, cuando el interés por los fundamentos de las matemáticas estimuló el desarrollo de la lógica simbólica (ahora llamada lógica matemática ). En 1854, George Boole publicó The Laws of Thought, presentando la lógica simbólica y los principios de lo que ahora se conoce como lógica booleana.
En 1879, Gottlob Frege publicó Begriffsschrift, que inauguró la lógica moderna con la invención de la notación cuantificadora, reconciliando las lógicas aristotélicas y estoicas en un sistema más amplio y resolviendo problemas para los cuales la lógica aristotélica era impotente, como elproblema de generalidad múltiple.
De 1910 a 1913, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell publicaron Principia Mathematica sobre los fundamentos de las matemáticas, intentando deducir verdades matemáticas de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica. En 1931, Gödel planteó serios problemas con el programa fundamentalista y la lógica dejó de centrarse en tales cuestiones.
El desarrollo de la lógica desde Frege, Russell y Wittgenstein tuvo una profunda influencia en la práctica de la filosofía y la naturaleza percibida de los problemas filosóficos (ver filosofía analítica ) y la filosofía de las matemáticas. La lógica, especialmente la lógica sentencial, se implementa en los circuitos de lógica informática y es fundamental para la informática.
La lógica es enseñada comúnmente por los departamentos universitarios de filosofía, sociología, publicidad y literatura, a menudo como una disciplina obligatoria.
Tipos
Lógica silogística
El Organon fue el cuerpo de trabajo de Aristóteles en lógica, con el análisis previo constituyendo el primer trabajo explícito en lógica formal, introduciendo el silogístico. Las partes de la lógica silogística, también conocida por el término término lógica, son el análisis de los juicios en proposiciones que consisten en dos términos que están relacionados por uno de un número fijo de relaciones, y la expresión de inferencias por medio de silogismos.
Que consisten en dos proposiciones que comparten un término común como premisa, y una conclusión que es una proposición que involucra los dos términos no relacionados de las premisas.
El trabajo de Aristóteles fue considerado en los tiempos clásicos y medievales en Europa y Medio Oriente como la imagen misma de un sistema completamente desarrollado. Sin embargo, no estaba solo: los estoicos propusieron un sistema de lógica proposicional que fue estudiado por los lógicos medievales.
Además, el problema de la generalidad múltiple fue reconocido en la época medieval. No obstante, no se consideró que los problemas con la lógica silogística necesitaran soluciones revolucionarias.
Hoy en día, algunos académicos afirman que el sistema de Aristóteles generalmente se considera que tiene poco más que un valor histórico (aunque hay un interés actual en extender la lógica de los términos), considerado obsoleto por el advenimiento de la lógica proposicional y el cálculo del predicado.
Otros usan Aristóteles en la teoría de la argumentación para ayudar a desarrollar y cuestionar críticamente los esquemas de argumentación que se utilizan en inteligencia artificial y argumentos legales.
Lógica proposicional
Un cálculo o lógica proposicional (también un cálculo oracional) es un sistema formal en el cual las fórmulas que representan proposiciones pueden formarse combinando proposiciones atómicas usando conectivos lógicos, y en el cual un sistema de reglas de prueba formales establece ciertas fórmulas como «teoremas».
Un ejemplo de un teorema de lógica proposicional es{\ displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow A}{\ displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow A}, que dice que si A se cumple, entonces B implica A.
Lógica de predicado
La lógica predicada es el término genérico para los sistemas formales simbólicos, como la lógica de primer orden, la lógica de segundo orden, la lógica de muchos ordenamientos y la lógica infinitaria. Proporciona una descripción de cuantificadores lo suficientemente generales como para expresar un amplio conjunto de argumentos que ocurren en lenguaje natural.
Por ejemplo, la famosa paradoja de barbero de Bertrand Russell, «hay un hombre que se afeita todo y solo los hombres que no se afeitan» pueden formalizarse con la oración{\ displaystyle (\ exist x) ({\ text {man}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {man}} (y) \ rightarrow ({\ text {shaves}} (x, y) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (y, y))))}(\ exist x) ({\ text {man}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {man}} (y) \ rightarrow ({\ text {shaves}} (x, y) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (y, y)))), utilizando el predicado no lógico {\ displaystyle {\ text {man}} (x)}{\ displaystyle {\ text {man}} (x)}para indicar que x es un hombre, y la relación no lógica{\ displaystyle {\ text {shaves}} (x, y)}{\ displaystyle {\ text {shaves}} (x, y)}para indicar que x afeita y;
Todos los demás símbolos de las fórmulas son lógicos, expresando los cuantificadores universales y existenciales, conjunción, implicación, negación y bicondicional.
Mientras que la lógica silogística aristotélica especifica un pequeño número de formas que puede tomar la parte relevante de los juicios involucrados, la lógica predicativa permite que las oraciones se analicen en sujeto y argumento de varias maneras adicionales, permitiendo que la lógica predicada resuelva el problema de la generalidad múltiple que había perplejo lógicos medievales
El desarrollo de la lógica de predicados generalmente se atribuye a Gottlob Frege, quien también es reconocido como uno de los fundadores de la filosofía analítica, pero la formulación de la lógica de predicados más utilizada hoy en día es la lógica de primer orden presentada en Principios de lógica matemática por David Hilbert y Wilhelm Ackermann en 1928.
La generalidad analítica de la lógica de predicados permitió la formalización de las matemáticas, condujo la investigación de la teoría de conjuntos y permitió el desarrollo del enfoque de Alfred Tarski a la teoría de modelos. Proporciona la base de la lógica matemática moderna.
El sistema original de lógica de predicados de Frege era de segundo orden, en lugar de primer orden. George Boolos y Stewart Shapiro defienden la lógica de segundo orden (contra las críticas de Willard Van Orman Quine y otros).
Lógica modal
En los idiomas, la modalidad trata con el fenómeno de que las sub partes de una oración pueden tener su semántica modificada por verbos especiales o partículas modales. Por ejemplo, » Vamos a los juegos » puede modificarse para dar » Deberíamos ir a los juegos » y » Podemos ir a los juegos » y quizás » Iremos a los juegos «.
De manera más abstracta, podríamos decir que la modalidad afecta las circunstancias en las que consideramos que una afirmación está satisfecha. La modalidad confusa se conoce como falacia modal.
La lógica de Aristóteles está en gran parte relacionada con la teoría de la lógica no modalizada. Aunque hay pasajes en su trabajo, como el famoso argumento de la batalla naval en De Interpretatione § 9, que ahora se consideran anticipaciones de la lógica modal y su conexión con la potencialidad y el tiempo, el primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicena, quien finalmente desarrolló una teoría del silogismo » temporalmente modalizado «.
Si bien el estudio de la necesidad y la posibilidad siguió siendo importante para los filósofos, hubo poca innovación lógica hasta las investigaciones históricas de CI Lewis en 1918, quien formuló una familia de axiomatizaciones rivales de las modalidades alethic. Su trabajo desencadenó un torrente de nuevos trabajos sobre el tema, ampliando los tipos de modalidades tratadas para incluir la lógica deóntica y la lógica epistémica.
El trabajo seminal de Arthur Prior aplicó el mismo lenguaje formal para tratar la lógica temporal y allanó el camino para el matrimonio de los dos sujetos. Saul Kripke descubrió (al mismo tiempo que sus rivales) su teoría de la semántica de cuadros., que revolucionó la tecnología formal disponible para los lógicos modales y proporcionó una nueva forma teórica de grafos de considerar la modalidad que ha impulsado muchas aplicaciones en lingüística computacional y ciencias de la computación, como la lógica dinámica.
Razonamiento informal y dialéctica
La motivación para el estudio de la lógica en la antigüedad era clara: es para que uno pueda aprender a distinguir los argumentos buenos de los malos, y así ser más efectivo en argumentos y oratoria, y quizás también para convertirse en una mejor persona. La mitad de los trabajos del Organon de Aristóteles tratan la inferencia tal como ocurre en un entorno informal, junto con el desarrollo de la silogística, y en la escuela aristotélica, estos trabajos informales sobre lógica fueron vistos como complementarios al tratamiento de la retórica de Aristóteles.
Esta antigua motivación sigue viva, aunque ya no ocupa un lugar central en la imagen de la lógica; La lógica típicamente dialéctica constituye el corazón de un curso de pensamiento crítico, un curso obligatorio en muchas universidades. La dialéctica se ha relacionado con la lógica desde la antigüedad, pero no ha sido hasta las últimas décadas que los lógicos europeos y estadounidenses han intentado proporcionar bases matemáticas para la lógica y la dialéctica formalizando la lógica dialéctica.
La lógica dialéctica es también el nombre dado al tratamiento especial de la dialéctica en el pensamiento hegeliano y marxista. Ha habido tratados pre-formales sobre argumento y dialéctica, de autores como Stephen Toulmin (The Uses of Argument ), Nicholas Rescher ( Dialéctica ), y van Eemeren y Grootendorst ( Pragma-dialéctica ).
Las teorías del razonamiento derrotable pueden proporcionar una base para la formalización de la lógica dialéctica y la dialéctica en sí misma puede formalizarse como movimientos en un juego, donde un defensor de la verdad de una proposición y un oponente discuten. Tales juegos pueden proporcionar una semántica de juego formal para muchas lógicas.
La teoría de la argumentación es el estudio y la investigación de la lógica informal, las falacias y las preguntas críticas relacionadas con el día a día y las situaciones prácticas. Se pueden analizar y cuestionar tipos específicos de diálogo para revelar premisas, conclusiones y falacias. La teoría de la argumentación se aplica ahora en inteligencia artificial y derecho.
Lógica matemática
La lógica matemática comprende dos áreas distintas de investigación: la primera es la aplicación de las técnicas de lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático, y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y análisis de la lógica formal.
El primer uso de las matemáticas y la geometría en relación con la lógica y la filosofía se remonta a los antiguos griegos, como Euclides, Platón y Aristóteles. Muchos otros filósofos antiguos y medievales aplicaron ideas y métodos matemáticos a sus afirmaciones filosóficas.
Uno de los intentos más audaces de aplicar la lógica a las matemáticas fue el logicismo por primera vez por filósofos-lógicos tales como Gottlob Frege y Bertrand Russell. Se suponía que las teorías matemáticas eran tautologías lógicas, y el programa debía mostrar esto mediante una reducción de las matemáticas a la lógica.
Los diversos intentos de llevar a cabo esto se encontraron con el fracaso, desde la paralización del proyecto de Frege en su Grundgesetze por la paradoja de Russell, hasta la derrota del programa de Hilbert por los teoremas de incompletitud de Gödel.
Tanto la declaración del programa de Hilbert como su refutación por Gödel dependieron de su trabajo para establecer la segunda área de la lógica matemática, la aplicación de las matemáticas a la lógica en forma de teoría de la prueba. A pesar de la naturaleza negativa de los teoremas de incompletitud, el teorema de integridad de Gödel, un resultado en la teoría de modelos y otra aplicación de las matemáticas a la lógica, puede entenderse como una muestra de cuán cercano se hizo realidad el logicismo:
Cada teoría matemática rigurosamente definida puede ser exactamente capturado por una teoría lógica de primer orden; El cálculo de la prueba de Frege es suficiente para describir el conjunto de las matemáticas, aunque no es equivalente a él.
Si la teoría de la prueba y la teoría del modelo han sido la base de la lógica matemática, no han sido sino dos de los cuatro pilares del tema. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor, y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes en la lógica matemática, desde el teorema de Cantor, hasta el estado del Axioma de Elección y la pregunta de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales.
La teoría de la recursión captura la idea de computación en términos lógicos y aritméticos; Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del problema Entscheidungs por Alan Turing, y su presentación de la tesis Iglesia-Turing. En la actualidad, la teoría de la recursión se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿ cuándo es un problema que se puede resolver de manera eficiente?) Y la clasificación de los grados de insolubilidad.
Lógica filosófica
La lógica filosófica trata con descripciones formales del lenguaje ordinario, no especializado («natural»), que se refiere estrictamente a los argumentos dentro de las otras ramas de la filosofía. La mayoría de los filósofos suponen que la mayor parte del razonamiento cotidiano se puede capturar en la lógica si se puede encontrar un método o métodos para traducir el lenguaje ordinario a esa lógica.
La lógica filosófica es esencialmente una continuación de la disciplina tradicional llamada «lógica» antes de la invención de la lógica matemática. La lógica filosófica tiene una preocupación mucho mayor con la conexión entre el lenguaje natural y la lógica. Como resultado, los lógicos filosóficos han contribuido en gran medida al desarrollo de lógicas no estándar (por ejemplo, lógicas libres, lógicas tensas).), Así como varias extensiones de la lógica clásica (por ejemplo modal lógicas ) y la semántica no estándar para tales lógicas (por ejemplo Kripke ‘s supervaluationism en la semántica de la lógica).
La lógica y la filosofía del lenguaje están estrechamente relacionadas. La filosofía del lenguaje tiene que ver con el estudio de cómo nuestro lenguaje se involucra e interactúa con nuestro pensamiento. La lógica tiene un impacto inmediato en otras áreas de estudio. Estudiar la lógica y la relación entre la lógica y el habla ordinaria puede ayudar a una persona a estructurar mejor sus propios argumentos y criticar los argumentos de los demás.
Muchos argumentos populares están llenos de errores porque muchas personas no están capacitadas en lógica y no saben cómo formular un argumento correctamente.
Lógica computacional
La lógica llegó al corazón de la informática cuando surgió como una disciplina: el trabajo de Alan Turing sobre el problema de Entscheidung siguió al trabajo de Kurt Gödel sobre los teoremas de incompletitud. La noción de la computadora de propósito general que surgió de este trabajo fue de fundamental importancia para los diseñadores de la maquinaria informática en la década de 1940.
En las décadas de 1950 y 1960, los investigadores predijeron que cuando el conocimiento humano podría expresarse utilizando la lógica con notación matemática, sería posible crear una máquina que imitara las habilidades de resolución de problemas de un ser humano. Esto fue más difícil de lo esperado debido a la complejidad del razonamiento humano.
En el verano de 1956, John McCarthy, Marvin Minsky, Claude Shannon y Nathan Rochester organizaron una conferencia sobre el tema de lo que llamaron » inteligencia artificial » (un término acuñado por McCarthy para la ocasión). Newell y Simon presentaron con orgullo al grupo el Teórico de la lógica. y quedamos algo sorprendidos cuando el programa recibió una tibia recepción.
En la programación lógica, un programa consiste en un conjunto de axiomas y reglas. Los sistemas de programación lógica como Prolog calculan las consecuencias de los axiomas y las reglas para responder una consulta.
Hoy en día, la lógica se aplica ampliamente en el campo de la inteligencia artificial, y este campo proporciona una rica fuente de problemas en la lógica formal e informal. La teoría de la argumentación es un buen ejemplo de cómo se aplica la lógica a la inteligencia artificial. El Sistema de Clasificación de Computación ACM en particular se refiere a:
Sección F. sobre «Lógica y significados de los programas» y F. sobre «Lógica matemática y lenguajes formales» como parte de la teoría de la informática: este trabajo cubre la semántica formal de los lenguajes de programación, así como el trabajo de métodos formales como como la lógica de Hoare;
La lógica booleana como fundamental para el hardware de la computadora: particularmente, la sección B. del sistema sobre » Estructuras aritméticas y lógicas «, relacionadas con los operativos AND, NOT y OR;
Muchos formalismos lógicos fundamentales son esenciales para la sección I. sobre inteligencia artificial, por ejemplo, lógica modal y lógica predeterminada en formalismos y métodos de representación del conocimiento, cláusulas Horn en programación lógica y lógica descriptiva.
Además, las computadoras pueden usarse como herramientas para los lógicos. Por ejemplo, en lógica simbólica y lógica matemática, las pruebas realizadas por humanos pueden ser asistidas por computadora. Utilizando la prueba automática de teoremas, las máquinas pueden encontrar y verificar pruebas, así como trabajar con pruebas demasiado largas para escribirlas a mano.
Lógica no clásica
Las lógicas discutidas anteriormente son todas » bivalentes » o «de dos valores»; es decir, se entiende más naturalmente como dividiendo proposiciones en proposiciones verdaderas y falsas. Las lógicas no clásicas son aquellos sistemas que rechazan varias reglas de la lógica clásica.
Hegel desarrolló su propia lógica dialéctica que extendió la lógica trascendental de Kant, pero también la trajo a la tierra al asegurarnos de que «ni en el cielo ni en la tierra, ni en el mundo de la mente ni en la naturaleza, hay un lugar tan abstracto». «O» como sostiene el entendimiento. Lo que existe es concreto, con diferencia y oposición en sí mismo «.
En 1910, Nicolai A. Vasiliev extendió la ley del medio excluido y la ley de la contradicción y propuso la ley del cuarto excluido y la lógica tolerante a la contradicción. A principios del siglo XX, Jan Łukasiewicz investigó la extensión de los valores verdaderos / falsos tradicionales para incluir un tercer valor, «posible» (o una hipótesis indeterminada), inventando así la lógica ternaria, la primera lógica multivalor en el Tradición occidental Una modificación menor de la lógica ternaria se introdujo más tarde en un modelo de lógica ternaria entre hermanos propuesto por Stephen Cole Kleene.
El sistema de Kleene difiere de la lógica de Łukasiewicz con respecto al resultado de la implicación. El primero supone que el operador de implicación entre dos hipótesis produce una hipótesis.
Desde entonces, lógicas como la lógica difusa se han ideado con un número infinito de «grados de verdad», representados por un número real entre 0 y 1.
La lógica intuicionista fue propuesta por LEJ Brouwer como la lógica correcta para razonar sobre las matemáticas, basada en su rechazo de la ley del medio excluido como parte de su intuicionismo. Brouwer rechazó la formalización en matemáticas, pero su alumno Arend Heyting estudió formalmente la lógica intuicionista, al igual que Gerhard Gentzen.
La lógica intuicionista es de gran interés para los informáticos, ya que es una lógica constructiva y ve muchas aplicaciones, como extraer programas verificados de las pruebas e influir en el diseño de lenguajes de programación a través de la correspondencia de fórmulas como tipos.
La lógica modal no es condicional a la verdad, por lo que a menudo se ha propuesto como una lógica no clásica. Sin embargo, la lógica modal normalmente se formaliza con el principio del medio excluido, y su semántica relacional es bivalente, por lo que esta inclusión es discutible.
Controversias
Es la lógica empírica?»
Cuál es el estado epistemológico de las leyes de la lógica ? ¿Qué tipo de argumento es apropiado para criticar los supuestos principios de la lógica? En un artículo influyente titulado » Is Logic Empirical? » Hilary Putnam, basándose en una sugerencia de WV Quine, argumentó que, en general, los hechos de la lógica proposicional tienen un estado epistemológico similar a los hechos sobre el universo físico, por ejemplo, como el leyes de la mecánica o de la relatividad general, y en particular que lo que los físicos han aprendido sobre la mecánica cuántica proporciona un argumento convincente para abandonar ciertos principios familiares de la lógica clásica:
Si queremos serRealistas sobre los fenómenos físicos descritos por la teoría cuántica, entonces debemos abandonar el principio de distributividad, sustituyendo la lógica clásica por la lógica cuántica propuesta por Garrett Birkhoff y John von Neumann.
Otro artículo del mismo nombre de Michael Dummett argumenta que el deseo de Putnam de realismo exige la ley de la distributividad. La distributividad de la lógica es esencial para la comprensión realista de cómo las proposiciones son verdaderas del mundo de la misma manera que ha argumentado que es el principio de bivalencia.
De esta manera, la pregunta, «¿Es la lógica empírica?» Se puede ver que conduce naturalmente a la controversia fundamental en la metafísica sobre el realismo versus el antirrealismo.
Implicación: estricta o material
La noción de implicación formalizada en la lógica clásica no se traduce cómodamente al lenguaje natural por medio de «si… entonces…», debido a una serie de problemas llamados las paradojas de la implicación material.
La primera clase de paradojas involucra contrafactuales, como Si la luna está hecha de queso verde, entonces 2 2 = 5, lo cual es desconcertante porque el lenguaje natural no admite el principio de explosión. La eliminación de esta clase de paradojas fue la razón de la formulación de implicación estricta de CI Lewis, que finalmente condujo a lógicas más radicalmente revisionistas, como la lógica de relevancia.
La segunda clase de paradojas involucra premisas redundantes, sugiriendo falsamente que conocemos al sucesor por el antecedente: por lo tanto, «si ese hombre es elegido, la abuela morirá» es materialmente cierto ya que la abuela es mortal, independientemente de las perspectivas de elección del hombre.
Tales oraciones violan la máxima de relevancia de Grice y pueden ser modeladas por lógicas que rechazan el principio de monotonicidad de la vinculación, como la lógica de relevancia.
Tolerar lo imposible
Georg Wilhelm Friedrich Hegel fue profundamente crítico con cualquier noción simplificada de la ley de no contradicción. Se basó en la idea de Gottfried Wilhelm Leibniz de que esta ley de la lógica también requiere un fundamento suficiente para especificar desde qué punto de vista (o tiempo) se dice que algo no puede contradecirse a sí mismo.
Un edificio, por ejemplo, se mueve y no se mueve; la tierra para el primero es nuestro sistema solar y para el segundo la tierra. En la dialéctica hegeliana, la ley de no contradicción, de identidad, en sí misma se basa en la diferencia y, por lo tanto, no se puede afirmar de manera independiente.
Estrechamente relacionado con las preguntas que surgen de las paradojas de la implicación viene la sugerencia de que la lógica debería tolerar la inconsistencia. La lógica de relevancia y la lógica paraconsistente son los enfoques más importantes aquí, aunque las preocupaciones son diferentes: una consecuencia clave de la lógica clásica y algunos de sus rivales, como la lógica intuicionista, es que respetan el principio de explosión, lo que significa que la lógica colapsa si es capaz de derivar una contradicción.
Graham Priest, el principal defensor del dialetismo, ha defendido la paraconsistencia debido a que, de hecho, hay verdaderas contradicciones.
Rechazo de la verdad lógica
La vena filosófica de varios tipos de escepticismo contiene muchos tipos de dudas y rechazo de las diversas bases sobre las que descansa la lógica, como la idea de la forma lógica, la inferencia correcta o el significado, que generalmente lleva a la conclusión de que no hay verdades lógicas. Esto contrasta con los puntos de vista habituales en el escepticismo filosófico, donde la lógica dirige la investigación escéptica a dudar de las sabidurías recibidas, como en el trabajo de Sextus Empiricus.
Friedrich Nietzsche ofrece un fuerte ejemplo del rechazo de la base habitual de la lógica: su rechazo radical de la idealización lo llevó a rechazar la verdad como un «… ejército móvil de metáforas, metonimias y antropomorfismos, en resumen… metáforas que son desgastadas y sin poder sensual, monedas que han perdido sus imágenes y ahora solo importan como metal, ya no como monedas «.
Su rechazo de la verdad no lo llevó a rechazar la idea de inferencia o lógica por completo, sino que sugirió que «la lógica en la cabeza del hombre de la ilógica, cuyo reino originalmente debe haber sido inmenso. Innumerables seres que hicieron inferencias de una manera diferente a la nuestra perecieron «.Por lo tanto, existe la idea de que la inferencia lógica tiene un uso como herramienta para la supervivencia humana, pero que su existencia no respalda la existencia de la verdad, ni tiene una realidad más allá de lo instrumental:
La lógica también se basa en supuestos que no corresponden a nada en el mundo real «.
Sin embargo, esta posición mantenida por Nietzsche ha sido objeto de un escrutinio extremo por varias razones. Algunos filósofos, como Jürgen Habermas, afirman que su posición se refuta a sí misma, y acusan a Nietzsche de ni siquiera tener una perspectiva coherente, y mucho menos una teoría del conocimiento.
Georg Lukács, en su libro The Destruction of Reason, afirma que, «Si estudiáramos las declaraciones de Nietzsche en esta área desde un ángulo lógico-filosófico, nos veríamos confrontados por un vertiginoso caos de las afirmaciones más espeluznantes, arbitrarias y violentamente incompatible «. Bertrand Russell describió las afirmaciones irracionales de Nietzsche con «Le gusta expresarse paradójicamente y con el objetivo de sorprender a los lectores convencionales».Una historia de la filosofía occidental.
Citas
Liddell, Henry George y Robert Scott. 1940. » Logikos «. Un léxico griego-inglés, editado por HS Jones con R. McKenzie. Oxford: Clarendon Press. – a través del Proyecto Perseo. Consultado el 9 de mayo de 2020.
Harper, Douglas. 2020. » lógica (n.) «. Diccionario de etimología en línea. Consultado el 9 de mayo de 2020.
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